Probability and Statistics 1
(c) Igor Kleiner

שיעורי בית 3

הסתברות מותנית, אי-תלות, הסתברות שלמה ובייס

לחצו על רמז / רמזים / פתרון מלא / Take-Home Message לכל משימה

משימה 1

רמת קושי: בינוני נושא: עץ הסתברויות, נוסחת בייס

אדם המעוניין למכור את מכוניתו מתלבט אם לפרסם מודעה בעיתון א' או בעיתון ב'. לכן החליט לבחור את העיתון באופן מקרי ולמסור את מודעת המכירה. אם לא הצליח למכור את המכונית תוך שבוע, ימסור מודעה בעיתון השני. הוא החליט מראש למסור את המודעה בכל עיתון פעם אחת בלבד.

ידוע שעבור מודעה בעיתון א', ההסתברות שהמכונית תימכר היא 0.8. בעיתון ב', ההסתברות היא 0.6.

  • א. מה ההסתברות שהמכונית לא תימכר כלל?
  • ב. ידוע שהמכונית לא נמכרה כלל. מה ההסתברות שבפעם הראשונה נמסרה לעיתון א'?

רמז קטן: שימו לב למילה "באופן מקרי". זה אומר שיש סיכוי שווה (0.5) להתחיל בעיתון א' וסיכוי שווה להתחיל בעיתון ב'. מומלץ לצייר עץ תהליכים!

רמז 1: ציירו עץ. פיצול ראשון: בחר עיתון א' (0.5) או בחר עיתון ב' (0.5).

רמז 2: כדי שהרכב "לא יימכר כלל", הוא צריך לא להימכר בעיתון הראשון, ואז לא להימכר גם בעיתון השני. מה ההסתברות לא למכור בא'? ($1 - 0.8 = 0.2$). ובב'? ($0.4$).

רמז 3: סעיף ב' דורש את נוסחת בייס: $\frac{P(\text{Start A} \cap \text{Fail All})}{P(\text{Fail All})}$. את המכנה כבר תחשבו בסעיף א'!

שלבי הפתרון

  • מגדירים את ההסתברויות ההתחלתיות: $P(\text{מתחיל בא'}) = 0.5$, $P(\text{מתחיל בב'}) = 0.5$.
  • ההסתברות לכישלון בעיתון א': $P(\text{לא נמכר} | \text{א'}) = 0.2$. בב': $P(\text{לא נמכר} | \text{ב'}) = 0.4$.
  • סעיף א': מחשבים את המסלול שבו מתחילים בא' ונכשלים פעמיים, ומחברים למסלול שבו מתחילים בב' ונכשלים פעמיים.
  • סעיף ב': לוקחים את ההסתברות של המסלול הראשון (התחיל בא'), ומחלקים בתשובה של סעיף א'.
סעיף א' (הסתברות שלמה):
מסלול 1 (התחיל בא'): $0.5 \times 0.2 \times 0.4 = 0.04$
מסלול 2 (התחיל בב'): $0.5 \times 0.4 \times 0.2 = 0.04$
סך הכל הסתברות לא למכור: $$P(\text{לא נמכר כלל}) = 0.04 + 0.04 = 0.08$$
סעיף ב' (נוסחת בייס):
אנו מחפשים: $P(\text{מתחיל בא'} | \text{לא נמכר כלל})$
$$P(\text{א'} | \text{לא נמכר}) = \frac{P(\text{מתחיל בא'} \cap \text{לא נמכר})}{P(\text{לא נמכר})} = \frac{0.04}{0.08} = 0.5$$

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • מתעלמים מ"בחירה מקרית": סטודנטים שוכחים לכפול ב-0.5 בהתחלה ופשוט מחשבים $0.2 \times 0.4$. זה נותן 0.08 אבל בטעות.
  • כפל לעומת חיבור: בתוך אותו מסלול כופלים (גם נכשל בא' וגם נכשל בב'). בין מסלולים שונים מחברים (או מסלול 1 או מסלול 2).

קוד פייתון להמחשה:

# הגדרת נתונים
p_choose = 0.5
p_fail_A = 1 - 0.8 # 0.2
p_fail_B = 1 - 0.6 # 0.4

# חישוב מסלולים
path_A_fails = p_choose * p_fail_A * p_fail_B
path_B_fails = p_choose * p_fail_B * p_fail_A

# סעיף א: הסתברות שלמה
p_not_sold_total = path_A_fails + path_B_fails
print(f"P(Not sold at all) = {p_not_sold_total}") # Output: 0.08

# סעיף ב: חוק בייס
p_start_A_given_fail = path_A_fails / p_not_sold_total
print(f"P(Started with A | Not sold) = {p_start_A_given_fail}") # Output: 0.5

📌 Take-Home Message:

כשבעיה מתוארת כרצף של פעולות בזמן (בוחרים עיתון -> מנסים -> עוברים לשני) - ציירו עץ! כל ענף מייצג שלב, נוסחת בייס היא פשוט "הענף הספציפי שמעניין אותנו" חלקי "סך כל הענפים שהגיעו לתוצאה".

משימה 2

רמת קושי: קשה נושא: חילוץ נעלם, הסתברות שלמה

נתונים על קשר בין עישון ולחץ דם באוכלוסייה:

  • $20\%$ מעשנים הרבה ($H$).
  • $30\%$ מעשנים מעט ($L$).
  • $50\%$ אינם מעשנים ($N$).

ידוע שההסתברות הכללית ללחץ דם גבוה היא $0.35$.

בין הלא מעשנים, $80\%$ בעלי לחץ דם נמוך.

בין המעשנים מעט, $75\%$ בעלי לחץ דם נמוך.

  • א. מה ההסתברות ללחץ דם גבוה בין אלה שמעשנים הרבה?
  • ב. נבחר אדם מבעלי לחץ דם נמוך. מה ההסתברות שאינו מעשן?

רמז קטן: שימו לב שיש נתונים על לחץ דם *נמוך*, אבל ההסתברות הכללית שנתונה (0.35) היא ללחץ דם *גבוה*. חייבים לעבור לאותה שפה (משלים)!

רמז 1: תרגמו את הנתונים המותנים: אם בקרב לא מעשנים 80% הם בעלי ל.ד. נמוך, אז 20% מהם בעלי ל.ד. גבוה.

רמז 2: סעיף א' דורש לפתור משוואה. נסמן ב-$x$ את ההסתברות ללחץ דם גבוה בקרב מעשנים הרבה. כתבו את נוסחת ההסתברות השלמה ללחץ דם גבוה (סך הכל שווה ל-0.35).

רמז 3: בסעיף ב', שואלים אותנו מה ההסתברות ל-$N$ (לא מעשן) בתנאי ש-$Low$ (לחץ דם נמוך). בייס!

שלבי הפתרון

ארגון הנתונים:
נסמן לחץ דם גבוה = $High$, לחץ דם נמוך = $Low$.
$P(H) = 0.2, \quad P(L) = 0.3, \quad P(N) = 0.5$
$P(High) = 0.35 \implies P(Low) = 0.65$

הנתונים המותנים ללחץ נמוך: $P(Low | N) = 0.8$, $P(Low | L) = 0.75$.
נעביר ללחץ גבוה: $P(High | N) = 0.2$, $P(High | L) = 0.25$.
סעיף א' (משוואה מנוסחת ההסתברות השלמה):
$$P(High) = P(High|H)P(H) + P(High|L)P(L) + P(High|N)P(N)$$ נציב את הנתונים ונסמן את הנעלם $x = P(High|H)$:
$$0.35 = x \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.5$$ $$0.35 = 0.2x + 0.075 + 0.1$$ $$0.35 = 0.2x + 0.175$$ $$0.175 = 0.2x \implies x = \frac{0.175}{0.2} = 0.875$$ כלומר, ההסתברות היא $87.5\%$.
סעיף ב' (בייס):
מבקשים: $P(N | Low)$.
$$P(N | Low) = \frac{P(Low | N) \cdot P(N)}{P(Low)} = \frac{0.8 \cdot 0.5}{0.65} = \frac{0.4}{0.65} = \frac{40}{65} = \frac{8}{13} \approx 0.615$$

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • בלבול בין קבוצות החיתוך לתנאי: הנתון "בין הלא מעשנים, 80%..." פירושו $P(Low|N)$ ולא החיתוך $P(Low \cap N)$.
  • חוסר עקביות במאורע: הנתון הכללי הוא על לחץ גבוה אבל פירוט הקבוצות הוא על לחץ נמוך. חובה ליישר קו!

📌 Take-Home Message:

נוסחת ההסתברות השלמה היא למעשה משוואה ממעלה ראשונה. אם ידועה לכם התוצאה הסופית ($0.35$) אבל חסר לכם נתון על אחת הקבוצות - פשוט תציבו $x$ ופתרו את המשוואה!

משימה 3

רמת קושי: בינוני נושא: אי-תלות בזוגות לעומת אי-תלות הדדית

זורקים שתי קוביות: אחת ירוקה ואחת אדומה. נגדיר את המאורעות:

  • $A$: הקוביה האדומה נפלה על 1 או 2.
  • $B$: הקוביה הירוקה נפלה על 3 או 5.
  • $C$: סכום שתי הקוביות הוא 4, 11 או 12.

האם $A, B, C$ מאורעות בלתי תלויים (ב״ת) בזוגות? האם הם מאורעות בלתי תלויים הדדית?

רמז קטן: בשאלות עם קוביות, הכי בטוח לספור! יש 36 תוצאות אפשריות $(Red, Green)$. רשמו אילו זוגות שייכים ל-$C$, חשבו את ההסתברויות הבסיסיות של $A, B, C$, ואז בדקו חיתוכים.

רמז 1: $P(A) = 2/6 = 1/3$. $P(B) = 2/6 = 1/3$. מצאו את המאורעות של $C$ כדי לחשב את $P(C)$. סכום 4 זה (1,3),(2,2),(3,1)... (זכרו שהסדר הוא (אדומה, ירוקה)).

רמז 2: כדי להוכיח אי-תלות בזוגות, עליכם להראות ש: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$, וגם $P(A \cap C) = P(A)P(C)$, וגם $P(B \cap C) = P(B)P(C)$.

רמז 3: כדי להוכיח אי-תלות הדדית (של כל ה-3 יחד), צריכים להראות בנוסף שהחיתוך המשולש שווה למכפלת שלושתם: $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$. אם התוצאה שונה - הם לא תלויים הדדית!

שלבי הפתרון

מרחב המדגם הוא בגודל 36 תוצאות. קוביה (אדומה, ירוקה).

חישוב הסתברויות בסיסיות:
$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$C$ כולל את הזוגות (אדומה, ירוקה): (1,3), (2,2), (3,1), (5,6), (6,5), (6,6). סך הכל 6 זוגות.
$P(C) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
בדיקת אי-תלות בזוגות:
1. חיתוך $A \cap B$: אדומה ב-{1,2} וירוקה ב-{3,5}. 4 זוגות: (1,3),(1,5),(2,3),(2,5).
$P(A \cap B) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$. ובנוסף $P(A)P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$. (בלתי תלויים!).

2. חיתוך $A \cap C$: מתוך האיברים ב-$C$, באילו מהם האדומה היא 1 או 2? (1,3), (2,2). 2 זוגות.
$P(A \cap C) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. ובנוסף $P(A)P(C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$. (בלתי תלויים!).

3. חיתוך $B \cap C$: מתוך $C$, מתי הירוקה 3 או 5? (1,3), (6,5). 2 זוגות.
$P(B \cap C) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$. ובנוסף $P(B)P(C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{18}$. (בלתי תלויים!).
מסקנה: הם בלתי תלויים בזוגות.
בדיקת אי-תלות הדדית (של כולם יחד):
צריך למצוא את $A \cap B \cap C$: אדומה (1,2) וגם ירוקה (3,5) וגם סכום ב-$C$.
הזוג היחיד שעונה על הכל הוא $(1,3)$. לכן ההסתברות היא $\frac{1}{36}$.
נבדוק את המכפלה: $P(A)P(B)P(C) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{54}$.
$$\frac{1}{36} \neq \frac{1}{54}$$ מסקנה: הם לא בלתי תלויים הדדית!

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • להסיק מזוגות להדדי: זו המלכודת הקלאסית בהסתברות! זה ש-A לא תלוי ב-B, ו-A לא תלוי ב-C, לא אומר ששלושתם יחד בלתי תלויים. חובה לבדוק את החיתוך המשולש במפורש.
  • בלבול בין הקוביה האדומה לירוקה בקריאת הזוג (x,y). תמיד הגדירו מראש שהראשון אדום והשני ירוק.

📌 Take-Home Message:

אי-תלות בזוגות לא מבטיחה אי-תלות הדדית. דרישת האי-תלות ההדדית היא נוקשה יותר הדורשת שוויון בין מכפלת ההסתברויות להסתברות החיתוך של כל הקבוצות יחד.

משימה 4

רמת קושי: קל נושא: מרחב מדגם מצומצם, הסתברות מותנית פשוטה

קובייה הוגנת מוטלת פעמיים.

חשבו את ההסתברות לכך שהתוצאה הייתה $(4,4)$, אם ידוע שהסכום היה 8.

רמז קטן: המילה "אם ידוע" (Given) מקטינה את העולם שלנו. אל תחשבו על 36 תוצאות יותר. תחשבו רק על הזוגות שהסכום שלהם הוא 8.

רמז 1: רשמו את כל הזוגות (קובייה ראשונה, קובייה שנייה) שנותנים סכום של 8.

רמז 2: כמה זוגות כאלו יש בסך הכל? (זה יהיה המכנה שלכם).

רמז 3: כמה מתוכם הם התוצאה הספציפית (4,4)? (זה המונה).

שלבי הפתרון

נשתמש בהגיון של "מרחב מדגם מצומצם". מאחר שידוע תנאי, אנו מגבילים את האפשרויות רק לאלו שמקיימות את התנאי.

צעד 1: מרחב המדגם החדש
האפשרויות לקבל סכום 8 בהטלת שתי קוביות הן:
(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)
סך הכל יש 5 תוצאות אפשריות בעולם החדש שלנו.
צעד 2: חישוב ההסתברות
מתוך 5 התוצאות הללו, יש רק תוצאה אחת שהיא (4,4).
לכן ההסתברות היא: $$P((4,4) | \text{Sum}=8) = \frac{1}{5} = 0.2$$

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • חלוקה ב-36: סטודנטים רושמים את התשובה כ-1/36, כי הם שוכחים את התנאי "אם ידוע".
  • ספירה כפולה של זהים: יש שסופרים את (4,4) פעמיים כאילו אפשר להחליף את הקוביות. בתוצאות זהות - סופרים רק פעם אחת! (בשונה מ-(3,5) ו-(5,3) שהן שתי הטלות שונות של קוביה ראשונה/שנייה).

📌 Take-Home Message:

בשאלות קוביה עם תנאי פשוט, אין צורך בנוסחאות בייס מסובכות. פשוט צמצמו את מרחב המדגם רגלית ("ספירת מלאי") וחלקו בגודל החדש.

משימה 5

רמת קושי: בינוני-קשה נושא: קומבינטוריקה בהסתברות, משלים, מותנה

טכנאי יוצא לתקן רכיבים במחשב. ידוע שזמני התיקון מתפלגים כך:

  • $40\%$ דורשים שעה אחת ($1h$).
  • $20\%$ דורשים שעתיים ($2h$).
  • $40\%$ דורשים 3 שעות ($3h$).

הטכנאי יוצא לתקן 2 רכיבים. (נניח שזמני התיקון בלתי תלויים).

  • א. מהי ההסתברות שזמן התיקון הכולל יהיה לפחות 4 שעות? (תשובה צפויה: 0.68)
  • ב. ידוע שהוא עבד לכל היותר 4 שעות. מהי ההסתברות שרכיב אחד דרש שעה והאחר דרש 3 שעות? (תשובה צפויה: 0.47)

רמז קטן: השתמשו במאורע המשלים! בסעיף א', במקום לחשב 4, 5, ו-6 שעות, חשבו מה ההסתברות לסך הכל של 2 או 3 שעות, ותעשו "1 פחות".

רמז 1: קומבינציות זמן ל-2 רכיבים שיקחו פחות מ-4 שעות (המשלים לסעיף א'): (1,1), (1,2), (2,1).

רמז 2: חשבו את ההסתברות של המשלים וחסרו מ-1: $1 - [P(1)P(1) + P(1)P(2) + P(2)P(1)]$.

רמז 3: בסעיף ב', שואלים אתכם ההפך: נתון שהזמן הוא $\le 4$. זה המכנה! המונה הוא ההסתברות הספציפית ל-(1,3) או (3,1).

שלבי הפתרון

סעיף א': הסתברות $\ge$ 4 שעות
נחשב דרך המאורע המשלים (סך הזמן קטן מ-4 שעות, כלומר 2 או 3 שעות).
הקומבינציות האפשריות הן:
- רכיב א' שעה, רכיב ב' שעה: $0.4 \times 0.4 = 0.16$
- רכיב א' שעה, רכיב ב' שעתיים: $0.4 \times 0.2 = 0.08$
- רכיב א' שעתיים, רכיב ב' שעה: $0.2 \times 0.4 = 0.08$
סך ההסתברות למשלים ($<4$ שעות): $0.16 + 0.08 + 0.08 = 0.32$.

ההסתברות המבוקשת ($\ge 4$ שעות) היא: $$P(T \ge 4) = 1 - 0.32 = 0.68$$
סעיף ב': הסתברות מותנית
התנאי הוא "לכל היותר 4 שעות" ($\le 4$).
נחשב את ההסתברות למכנה דרך המאורע המשלים: $P(T \le 4) = 1 - P(T > 4)$.
הזוגות שזמן התיקון הכולל שלהם גדול מ-4 (כלומר 5 או 6 שעות) הם:
- (2,3): $0.2 \times 0.4 = 0.08$
- (3,2): $0.4 \times 0.2 = 0.08$
- (3,3): $0.4 \times 0.4 = 0.16$
סך הכל גדול מ-4: $0.08+0.08+0.16 = 0.32$.
לכן ההסתברות למכנה (לכל היותר 4 שעות) היא $1 - 0.32 = 0.68$.

עכשיו, מה המונה? ההסתברות לרכיב של שעה ורכיב של 3 שעות: (1,3) או (3,1).
$P(1,3) + P(3,1) = (0.4 \times 0.4) + (0.4 \times 0.4) = 0.16 + 0.16 = 0.32$.

נוסחת בייס/מותנה: $$P(\{1,3\} | T \le 4) = \frac{0.32}{0.68} = \frac{32}{68} = \frac{8}{17} \approx 0.4705$$

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • שוכחים סידור (פרמוטציות): ההסתברות ל-"רכיב של שעה ורכיב של שעתיים" היא לא רק $0.4 \times 0.2$. צריך גם את המקרה ההפוך $0.2 \times 0.4$. יש שני רכיבים (ראשון ושני).
  • קריאה רשלנית של מילות יחס: "לפחות 4" ($\ge 4$) לעומת "לכל היותר 4" ($\le 4$). חשוב למפות בדיוק אילו זוגות נכנסים לאיזה תנאי.

קוד פייתון סימולציה (מוכיח את התשובות):

probs = {1: 0.4, 2: 0.2, 3: 0.4}

# מעבר על כל הזוגות האפשריים של רכיבים
p_at_least_4 = 0
p_at_most_4 = 0
p_1_and_3 = 0

for t1, p1 in probs.items():
    for t2, p2 in probs.items():
        prob_pair = p1 * p2
        total_time = t1 + t2
        
        if total_time >= 4:
            p_at_least_4 += prob_pair
            
        if total_time <= 4:
            p_at_most_4 += prob_pair
            if (t1 == 1 and t2 == 3) or (t1 == 3 and t2 == 1):
                p_1_and_3 += prob_pair

print(f"P(time >= 4) = {p_at_least_4:.2f}")
print(f"P(1 and 3 | time <= 4) = {p_1_and_3 / p_at_most_4:.2f}")

📌 Take-Home Message:

כשמדברים על הוצאה או בחירה של 2 פריטים (או רכיבים), הסדר משנה מבחינת הסתברויות! תמיד תחשבו "האם יש יותר מדרך אחת לקבל את התוצאה הזו?" (למשל, 1 קודם ואז 3, או 3 קודם ואז 1).

משימה 6

רמת קושי: קל נושא: חיתוך ואיחוד, מאורעות בלתי תלויים

מאורעות $A$ ו-$B$ הם מאורעות בלתי תלויים שהסתברויותיהם $0.8$ ו-$0.4$ בהתאמה.

מה ההסתברות שלפחות אחד מהם יקרה?

רמז קטן: "לפחות אחד מהם יקרה" זה במילים אחרות האיחוד שלהם: $P(A \cup B)$.

רמז 1: נוסחת ההכלה וההדחה: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

רמז 2: כיצד מוצאים את החיתוך $P(A \cap B)$? השתמשו בנתון החשוב בשאלה: "הם בלתי תלויים!".

רמז 3: לחילופין, אפשר להשתמש במשלים: הסיכוי שלפחות אחד יקרה שווה ל-1 פחות הסיכוי ש*אף אחד* לא יקרה. לפי תכונת אי-התלות: $$1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})$$

שלבי הפתרון

נציג כאן 2 פתרונות שונים ויפים!

פתרון 1: שימוש בנוסחת האיחוד
"לפחות אחד" משמעו מאורע האיחוד. $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ כיוון שהם בלתי תלויים, מותר לנו להכפיל הסתברויות כדי למצוא את החיתוך: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.4 = 0.32$$ כעת נציב הכל בנוסחה: $$P(A \cup B) = 0.8 + 0.4 - 0.32 = 1.2 - 0.32 = 0.88$$
פתרון 2: שימוש במאורע המשלים (קלאסי!)
המשלים של "לפחות אחד יקרה" הוא "אף אחד מהם לא קרה" (כלומר, גם $A$ לא קרה וגם $B$ לא קרה). $$P(\bar{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$$ $$P(\bar{B}) = 1 - 0.4 = 0.6$$ מאחר שהם בלתי תלויים, גם המשלימים שלהם בלתי תלויים: $$P(\text{אף אחד לא יקרה}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0.2 \cdot 0.6 = 0.12$$ לכן ההסתברות לאירוע המקורי (לפחות אחד): $$P(\text{לפחות אחד}) = 1 - 0.12 = 0.88$$

⚠️ איפה נופלים? (טעויות נפוצות)

  • חיבור ללא חיסור החיתוך: מי שרק מחבר $0.8 + 0.4 = 1.2$. הסתברות לא יכולה להיות גדולה מ-1! זה סימן אזהרה שלא הורדתם את שטח החיתוך (ספרתם אותו פעמיים).
  • בלבול בין בלתי תלויים לזרים: יש שחושבים שאם הם בלתי תלויים אז החיתוך הוא 0. זה קורה רק במאורעות זרים (שלא יכולים לקרות יחד).

📌 Take-Home Message:

המילים "בלתי תלויים" נותנות לכם "אישור" חוקי להפוך "וגם" (חיתוך) לפעולת כפל ($P(A) \cdot P(B)$). בלי המילים הללו - אסור לכפול סתם כך!